Que l'agence ayant connaissance d'une infraction urbanistique en fasse clairement mention: c'est une obligation. L'agence aurait cependant dû préciser le sort à y réserver (soit régularisation par le vendeur, soit l'acquéreur en fait son  affaire personnelle).

Cette question n'a visiblement pas été règlée entre parties puisque le vendeur, dans son envoi au notaire, en décidant unilatéralement de biffer la mention "et constitue une faute urbanistique" (probablement parce qu'il considère que ce n'est pas une faute) complique la situation entre vendeur et candidat-acquéreur, chacun se renvoyant le ballon: qui doit faire la régularisation à ses frais ?

Il ne s'agit pas d'un problème de "vice caché", comme vous l'indiquez.

En ce qui concerne le délai: si l'acquéreur doit, en plus, encore obtenir l'accord pour son prêt, cela risque d'être court.
L'offre émise invoque une condition suspensive de prêt ?

Et pour l'acompte/garantie à la signature: il est devenu très rare que le montant puisse être remis au vendeur. En général, il reste consigné chez le notaire instrumentant jusqu'à l'acte.

Bref: tout cela me paraît mal fagoté comme affaire...

L'offre d'achat avait été rédigé par une agence immobilière et faisait remarquer qu'une annexe de la maison n'était pas sur le plan cadastral et constituait une faute urbanistique.

Si je comprends bien votre amie a donc mandaté une agence pour la vente de sa maison. Je suppose que l'agence a stipulé dans son offre écrite que la mise en ordre urbanistique incombait à l'acheteur, puisque l'agence mandatée par votre amie était parfaitement au courant de ce problème.
Puisque l'acheteur a signé l'offre rédigée par l'agence, la vente est plus que parfaite et l'agence va réclamer sa commission (7%?) à votre amie.

Le principe de la vente est le consentement mutuel sur l'objet et le prix.

Le consentement mutuel suppose que chacune des parties ait connaissance de l'accord de l'autre.

Que le vendeur A ait exprimé son accord sur l'offre émise par B, dans le délai prescrit (y avait-il un délai de validité de l'offre ?), suppose que B ait pu prendre connaissance de cette acceptation.

Si A a expédié son accord à son propre notaire "C", c'est qu'il a probablement chargé ce notaire C de mettre en place les démarches nécessaires pour transformer ces premières étapes en vraie vente. Et donc, qu'a fait le notaire après réception de cet email ?

Un email, à défaut d'être une preuve irréfutable, est à tout le moins un élément de présomption.
Il existe même un jugement validant une acceptation d'offre par SMS...

Si le notaire a accusé réception et/ou a posé des actes (prendre contact avec le candidat-acquéreur et/ou avec son confrère notaire intervenant pour le dit candidat-acquéreur), cela donne tout de même un caractère de preuve au dit email.

En réalité, dans ce que vous racontez, vous n'en dites pas assez (il n'est pas obligatoire d'en dire plus, si vous souhaitez préserver la  confidentialité): mais la réponse pertinente, si elle devait être soumise à un juge,  se trouve dans les circonstances de l'affaire et de ce qui s'est réellement passé.

Et finalement, quel est le souci ?: l'acquéreur invoque cet accord pour exécuter la vente ? Ou est-ce le vendeur qui l'invoque et l'acquéreur qui se rétracte au motif qu'il n'a pas été informé du dit accord ?

ps: j'ai lu dans l'intervalle les réponses de Panchito: je ne partage pas son avis sur la discussion "accepté au prix demandé" qui n'a rien à voir dans ce problème-ci.
Que ce soit accepté au prix demandé ou à un prix inférieur, c'est sans incidence ici.
(lecture utile à cet égard)

Vous ne nous dites pas non plus s'il s'agit d'une vente notariale ou pas...

Donc pourquoi A envoie un mail à son propre notaire? Quel est le texte de cet email?

Et B il attend toujours une réponse à son offre??  Ou C at-'il déjà pris contact avec A?

Pourriez-vous expliciter en détails tout le contexte et fournir toutes les précisions?

Donc en fonction de 1/, à partir du moment où B a fait une offre écrite à A au prix proposé par A, la vente est parfaite.

Les notaires interviennent dans un 2ème temps pour rédiger l'acte (et éventuellement le compromis).

A vend sa maison, B lui fait une offre écrite; A envoie à C, un simple mail dans lequel elle accepte  l'offre.  C, est en fait le notaire de A, mais pas celui de l'acheteur -B-, et n'est dès lors qu'un tiers et non partie.  [Cela serait différent si C, était le notaire de l'acheteur ou le notaire commun.].
Peut on considérer la vente comme faite, puisqu'il n'y a pas, senso stricto, accord "entre partie", l'e-mail n'ayant pas été envoyé au candidat acheteur.
Devant une juridiction, qu'elle serait la valeur de cet e-mail? (pas de signature, une adresse mail du vendeur et celle de son notaire, valeur juridique d'un mail, une boite mail étant facilement piratable -sans parler d'un tiers qui utiliserait le pc du vendeur en son absence-)
Pour précision, je représente les intérêts de A; le problème est plus complexe, mais c'est ce point particulier qui m'interpelle.
Merci de vos avis.