Mille mercis, vraiment.
C'est très confortable d'avoir un forum si réactif.
Suite à notre échange, je viens d'envoyer une invitation au locataire de m'écrire cette demande, dès que je l'ai, je signe avec le nouveau locataire et ensuite je confirme ma position avec l'ancien.je pense ainsi limiter le risque au maximum grâce à vos conseils. Merci.

merci beaucoup pour votre réponse.
Effectivement, c'est moi qui prends le risque pour contenter un locataire.
Mais cette solution semble plus simple que celle de Rico.
au fait, j'avais une question supplémentaire pour vous deux: quelle est la validité auprès des tribunaux d'une telle convention d'un mois. Peut-on signer une location pour un mois seulement ?

merci beaucoup à tous les deux en tout cas pour vos promptes réponses, c'est très confortable et cela m'aide beaucoup.