accès à un appartement loué

Vous pouvez pénétrer dans l'appartement de votre locataire en cas d'urgence mais le fait que vous possédiez une clé pourrait vous jouer des tours car il pourrait prétendre que vous le faites quand ce n'est pas nécessaire. Je préconise donc, dans de tels cas, de recourir à un serrurier, aux frais du locataire...
En ce qui concerne le soi-disant vol d'une montre, il n'y a pas de preuve mais cette allégation démontre bien l'inconvénient qu'il y a pour le bailleur à posséder une clé du logement loué.
En ce qui concerne la fuite de l'évier, vous avez raison, le locataire est tenu de vous prévenir, les dégâts dûs au fait d'avoir attendu lui sont imputables.
Par ailleurs, je vous conseille de mettre en cause la responsabilité de l'agence qui, manifestement, ne trie pas soigneusement les locataires.
Y a-t-il eu un état des lieux d'entrée? Sinon, encore une fois, la responsabilité de l'agence est engagée.

Vous pouvez exiger d'avoir accès au logement pour effectuer des réparations nécessaires et urgentes. S'il n'y a pas d'accord à ce sujet, il faut tenter de faire intervenir l'agence et en dernier recours, s'adresser au juge de paix (tentative de conciliation puis requête).

Si vous avez un truc pour s’assurer de la propreté et de l’honnêteté des candidats locataires, je suis preneur !

Ah, le difficile choix du locataire. L'idéal serait de limiter les canards boiteux avec une liste de mauvais locataires, mais je me demande si je ne suis pas hors sujet

Quant à exiger de pouvoir rentrer pour faire les travaux, oui, vous pouvez l'exiger. Si il vous le refuse, vous aurez du mal à faire valoir vos droits en justice d'ici samedi... mais vous pourrez imputer des frais supplémentaires.