Immeuble non disponible à date du bail

Le bailleur est évidemment dans son tort, ennui de santé ou pas car il devait prendre les mesures pour vous éviter d'en subir les conséquences.
La situation est plus ou moins délicate selon que le logement que vous quittez est déjà reloué ou non...
Quoi qu'il en soit, sachez que vous ne vous retrouverez pas à la rue du jour au lendemain si vous "vous incrustez" dans votre logement actuel, compte tenu du temps qu'il faut pour obtenir un jugement d'expulsion et le faire exécuter.
Mais il faut prendre le taureau par les cornes avec énergie: mettez immédiatement le bailleur en demeure, par recommandé, de vous délivrer le logement en bon état locatif. Si vous ne faites pas cela vous vous mettez dans votre tort vis à vis du bailleur actuel et du nouveau locataire éventuel. (sans compter que vous auriez sans doute déjà dû réagir de cette façon depuis plusieurs jours car vous saviez problablement, ou auriez dû savoir, que le logement ne serait pas prêt...).

Prévenez votre bailleur que, pour raison de force majeure, vous ne pouvez pas déménager (avec copie de votre lettre et autre preuve à l'appui: photo etc.)
Et puis cherchez une solution pratique: y a-t-il des chances sérieuses que le logement soit prêt dans quelques jours? Patientez.
Sinon, recherchez activement un autre logement ou une solution provisoire, ne serait-ce, à nouveau, que pour démontrer votre bonne foi vis à vis de votre bailleur actuel.

De toute façon, prévenez dans votre lettre le nouveau bailleur que toutes les conséquences dommageables de la situation lui seront imputées.

Bonne chance!

Une mise en demeure est une lettre par laquelle vous rappelez à une personne qui a des obligations vis à vis de vous qu'elle doit exécuter ces dernières.
Il est utile, pour pouvoir en faire état en justice, d'utiliser la formule: "je vous mets en demeure de (payer votre dette, me délivrer le bien louer, etc.)" avec indication d'un délai (immédiatement, dans les 8 jours, etc...)

La formule de mise en demeure est généralement suivie d'une menace d'enclencher une procédure judiciaire:

"A défaut d'exécution dans ce délai, je me verrais contraint de faire valoir mes intérêts par toutes voies de droit, y compris un recours devant les instances judiciaires compétentes" (ici: devant le juge de paix compétent).

Pour des raisons de preuve, il est important d'envoyer la mise en demeure par recommandé mais il est utile d'envoyer aussi une copie par courrier ordinaire afin d'avoir plus de chances que le destinataire prenne connaissance du message. Je vous rappelle qu'une lettre recommandée que le destinataire n'a pas réclamée à la poste et qui revient à l'expéditeur est censée avoir été reçue le jour où elle a été présentée à l'adresse de destination.

Je vous rappelle que les frais occasionnés par cette situation peuvent être mis à charge du bailleur. Précisez-le dans la lettre!

Il peut demander mais vous pouvez refuser de payer, sur base de ce que l'on appelle "l'exception d'inexécution": dans un contrat, si une partie n'exécute pas ses obligations, l'autre peut se refuser, dans certaines conditions, à exécuter les siennes. Dans le cas présent je puis vous affirmer que les conditions sont réunies.
par contre, vous ne pouvez dès lors pas exiger le remboursement du demi-loyer puisque vous n'aurez payé qu'un seul loyer en tout. Mais vous pourriez demander le remboursement de la différence entre les loyers, si le précédent est plus élevé que le nouveau...