Quels sont mes droits dans un conflit avec mon syndic ?

Bien sur qu'il faut mettre ce point à l'ordre du jour de la prochaine AG ! Vous en faites au besoin la demande écrite au syndic.
Et l'AG décidera des mesures qui s'imposent. Mesures que le syndic appliquera. Sans décision de l'AG, le syndic ne peut que réparer ponctuellement quand une panne se présente. Vous n'avez donc aucune raison qui justifie un conflit avec votre syndic. Et il ne doit (ne peut) vous "donner gracieusement" une télécommande. Les autres ont payé. Pourquoi pas vous ?

L'accès au bâtiment, c'est votre confort. J'imagine que vous n'êtes pas le seul occupant que dérange un non-fonctionnement de la porte. Tout comme je suppose que vous pouvez pallier à ce problème ne serait-ce qu'en sonnant chez un voisin...

La sortie par contre, c'est votre sécurité en cas de sinistre. En cas d'incendie, une porte bloquée, c'est un réel problème !

A vous lire, on a l'impression que vous êtes le seul occupant de l'immeuble qui subit un préjudice...

C'est donc que tous les autres ont acheté une télécommande ?
Alors pourquoi pas vous ?

Je suis au moins aussi sérieux que vous, mais je conçois que vous puissiez penser que ce n'est pas suffisant.
Il n'y a rien de paradoxal dans mon raisonnement. Dans une situation normale, la télécommande est payante, la situation ne l'étant pas, la conclusion peut (doit) être modifiée.
Etes-vous sérieux en affirmant que seule la sortie du bâtiment pose problème ? Le fait de ne pas pouvoir y  pénétrer ne serait donc pas un problème. Notez en passant que pour pouvoir être confronté au problème de l'impossibilité de sortir d'un bâtiment, il faut avoir eu la possibilité d'y pénétrer et on doit constater que les problèmes sont en quelque sorte liés.

Pour le reste, je peux évidemment parfaitement vous suivre lorsque vous répétez qu'il faut faire en sorte que la porte fonctionne, soit en la réparant, soit en la remplaçant. Je crois que toute le monde sera d'accord avec cette opinion.

Mais, il se trouve que le problème soulevé est précisément que la porte ne fonctionne pas correctement et qu'aucune action efficace ne semble pouvoir ou vouloir être entreprise pour y remédier.

Enfin, je n'ai jamais dit, ni même pensé, qu'il y aurait "un devoir du syndic" de mettre gracieusement une télécommande à disposition. Son seul devoir est d'exécuter les décisions de l'AG et je pense qu'il appartient à l'AG, si elle ne veut/peut pas remédier au problème d'une manière durable, de proposer une solution alternative et la seule qui semble possible est la mise à disposition gracieuse d'une télécommande.

Si par la volonté d'une assemblée, je suis privé d'un droit (celui d'accéder en tout temps au bâtiment), je ne vois pas pourquoi il serait inconcevable que je reçoive une forme de réparation, sans devoir la payer.

Très concrètement, je pense qu'il y a lieu de mettre ce point à l'odj d'une assemblée générale. Il s'agit d'exposer que la situation du cp qui n'a pas d'accès par la grille télécommandée est inacceptable, dès lors que la porte d'accès pour piétons est régulièrement défaillante. En conséquence, il faut proposer de soit, d'entreprendre une action, éventuellement coûteuse, pour que cette porte fonctionne comme elle doit le faire, soit de mettre gracieusement à disposition du cp concerné une télécommande pour lui permettre d'avoir accès au bâtiment. Cela me paraît une proposition très raisonnable.