Il s'agit de quel type de travaux ?
de quelle importance financière ?
De quelle type de locaux et sur quelle superficie ?

Rien à ajouter aux écrits de Rexou, sauf peut-être à privilégier le recours à un bon expert immobilier, un géomètre !

Sauf erreur, le certificat d'entretien pour les chaudière prévoit obligatoirement le ramonage !  donc si le chauffagiste coche qu'il l'a fait alors que ce n'est pas vrai, il engage sa responsabilité professionnelle ! 
Techniquement, je crois que tous les ans, dans le cas d'une cheminée tubée, cela ne se justifie pas mais c'est vite fait, sauf si la cheminée est trop haute !

Ma position serait la suivante:
écrire, par recommandé au propriétaire, par l'entremise de l'agence immobilière qui gère, pour l'informer du problème et des désagréments et risques qui sont générés par cela.  éventuellement mettre un peu de pression et de menace.  Le but est bien sur de pousser le propriétaire à agir auprès du syndic/CDC/AG !
Consulter l'administration communale, de préférence directement le bourgmestre, idem à la police pour les informer du problème de sécurité mais aussi de la perturbation de l'ordre public !
Enfin, informer votre propre compagnie d'assurance, ce qui peut les inciter à agir auprès de l'assureur de la copropriété !

Toutes ces conversations m'inspirent quelques remarques.
D'abord, Jeanlarue, vous êtes manifestement un gentil propriétaire.
Ensuite, il est faut de penser qu'une peinture s'amorti en 9 ans.  La durée dépend de la qualité de la peinture et aussi de sa mise en oeuvre mais également de l'endroit ou elle se situe.  Un plafond de hall de nuit est moins exposé que le mur de cuisine au-dessus de l'évier ou de la taque de cuisson.
Faire appel à un expert pour aussi peu de dégât n'est pas intéressant (zut, je coupe la branche sur laquelle je suis assis ! ).  Ses honoraires risquent d'être plus important que l'indemnité compensatoire.

In fine, à votre place, après avoir reçu le dernier loyer, je toucherais un mot au locataire pour ses malfaçons et suivant sa réaction, je laisse tomber, j'acte par écrit un accord, je vais en justice ou je lui envoie quelques potes de Molenbeek (Les Tchétchènes ne sont plus à la mode ! )

Notez que votre nouveau locataire a visité l'appartement avant de louer et donc a vu l'état des peintures.  De ce fait, en principe, il ne peut pas vous forcer à repeindre !

Quelques réflexions sur une question que je connais assez bien.

Ne jamais prendre un expert qui fait "partie" d'une agence immobilière.  Comme déjà dit, souvent, c'est un jeune stagiaire qui se fait ses armes !

On peut toujours changer d'expert pour l'état des lieux de sortie, même si celui-ci a été désigné au bail.  Une telle mention n'est pas assimilée à un ordre de mission ou à un bon de commande.  D'ailleurs si l'expert meurt, comment faire ?

Visitez le bien avant le départ dès que possible afin de vous faire une idée de son état.  Si le bien est en bon état et que le locataire a payé tous ses loyers, tentez un compromis avec votre locataire et faites l'économie d'un ELS (oui, je prêche contre mon bizness )
Si l'état est moyen, prenez un seul expert, à frais partagés.
Si l'état est mauvais ou si les contacts avec votre locataire sont difficiles, prenez chacun votre propre expert.

Dans tous les cas, choisissez un "bon" expert, un géomètre expert, bien sur !!!

C'est quoi cette agence de m.... ?

Je rejoins les autres avis.  Il s'agit vraisemblablement de condensation.
Le petit appareil dont certains parlent ne devraient ici servir à rien car comme les températures extérieures augmentent actuellement, il n'y a plus (ou beaucoup moins) de condensation.
Une visite d'expert coûte environ 250/300€ et il examinera l'ensemble de l'appartement et pas seulement le problème d'humidité.

Ce n'est pas un mur a la limite de la mitoyenneté mais à cheval sur la limite.
Oui c'est possible, une fois dépassé le niveau du sol, mais pour le terrassement, les fondations et les maçonneries enterrées, on fait comment ?
Et en plus, il y aura toujours des petits débris, du mortier, etc. qui tomberont de votre côté .

Mieux vaut un compromis !

Le voisin construit un mur sur son terrain ou a cheval sur la limite ?

Il construit avec quelle profondeur de fondations ?

Un sous-sol ?

Il s'engage à remettre votre terrain, propriété ou parking en état ?

Il a obtenu son permis ?

Pour infos, jamais dans ma vie professionnelle je n'ai entendu parler d'une interdiction de terrasser chez le voisin pour construire un mur mitoyen ou même à limite pour autant qu on remette les lieux en état.
Toutes les maisons mitoyennes se sont construites ainsi.

J'ai pas tout lu et donc désolé si je m'égare un peu.

Votre voisin a obtenus son permis de construire et ce avec un mur mitoyen, à cheval sur la limite.

Je ne vois pas comment vous pourriez vous opposer à cela.
évidemment, sur votre terrain (en dehors de la petite bande pour son mur) il ne peut pas faire tout ce qu'il veut, mais pour les fondations de son mur, ou de ses caves, il devra bien creuser et pour ne pas que les terres s'écroulent dans son terrassement il devra taluter sur ±45° et donc empiéter sur votre terrain autant que la profondeur de son terrassement.
Je vois mal un juge de paix lui interdire cela mais bien vous accorder un dédommagement, ou une remise en état, ou des modalités pratiques pour ces travaux.

J'estime que la solution la moins mauvaise est bien de négocier avec ce voisin.